第五章章末检测试卷(五)

第1题 (单选题) 难度 - 基础题：

下列各角中，与27°角终边相同的是(　　)

A: 63°
B: 153°
C: 207°
D: 387°

解析:

与27°角终边相同的角构成的集合为{α|α=27°+k·360°，k∈Z}，取k=1，可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.

第2题 (单选题) 难度 - 基础题：

sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为(　　)

A: - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C: - $\frac{1}{2}$
D: $\frac{1}{2}$

解析:

sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°

=sin 45°cos 15°+cos(180°+45°)sin 15°

=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°

=sin(45°-15°)=sin 30°= $\frac{1}{2}$ .

第3题 (单选题) 难度 - 基础题：

若sin $(α + \frac{π}{4})$ = $\frac{1}{4}$ ，则sin 2α等于(　　)

A: $\frac{7}{8}$
B: - $\frac{7}{8}$
C: $\frac{3}{4}$
D: - $\frac{3}{4}$

解析:

设β=α+ $\frac{π}{4}$ ，则sin β= $\frac{1}{4}$ ，α=β- $\frac{π}{4}$ ，

故sin 2α=sin 2 $(β - \frac{π}{4})$ =-cos 2β=2sin²β-1=- $\frac{7}{8}$ .

第4题 (单选题) 难度 - 基础题：

如果角α的终边过点P(2sin 30°，-2cos 30°)，那么sin α等于(　　)

A: - $\frac{1}{2}$
B: $\frac{1}{2}$
C: - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D: - $\frac{\sqrt{3}}{3}$

解析:

由题意得P(1，- $\sqrt{3}$ )，它与原点的距离为2，则sin α=- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

第5题 (单选题) 难度 - 基础题：

如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需要30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，点B转过的角的弧度是(　　)

A: $\frac{π}{6}$
B: $\frac{π}{3}$
C: $\frac{2 π}{3}$
D: $\frac{5 π}{6}$

解析:

由题意可知，点B转过的角的弧度是 $\frac{5}{30}$ ×2π= $\frac{π}{3}$ .

第6题 (单选题) 难度 - 基础题：

函数y=x-2sin x(-π≤x≤π)的大致图象是(　　)

解析:

令函数f(x)=x-2sin x，

显然f(-x)=-x-2sin(-x)=-f(x)，

因此函数f(x)是[-π，π]上的奇函数，图象关于原点对称，故C，D不满足；

当x=π时，y=π-2sin π=π，故B不满足，A符合题意.

第7题 (单选题) 难度 - 基础题：

若tan 2α= $\frac{4}{3}$ ，则 $\frac{4 c o s^{2} α - 3 s i n 2 α}{1 - c o s 2 α}$ 等于(　　)

A: - $\frac{1}{2}$
B: 2
C: -2或 $\frac{1}{2}$
D: - $\frac{1}{2}$ 或2

解析:

由于 $\frac{4}{3}$ =tan 2α= $\frac{2 t a n α}{1 - t a n^{2} α}$ ，故4-4tan²α=6tan α，即2-3tan α=2tan²α.

所以 $\frac{4 c o s^{2} α - 3 s i n 2 α}{1 - c o s 2 α}$ = $\frac{4 c o s^{2} α - 6 s i n α c o s α}{2 s i n^{2} α}$ = $\frac{2 - 3 t a n α}{t a n^{2} α}$ = $\frac{2 t a n^{2} α}{t a n^{2} α}$ =2.

第8题 (单选题) 难度 - 基础题：

在△ABC中，内角A，B，C满足2sin Bcos C=sin A，则△ABC的形状为(　　)

A: 直角三角形
B: 等腰三角形
C: 等腰直角三角形
D: 正三角形

解析:

2sin Bcos C=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，

故sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0，

因为B，C∈(0，π)，所以B=C，故△ABC为等腰三角形.

第9题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)下列结论正确的是(　　)

A: - $\frac{7 π}{6}$ 是第三象限角
B: 若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$
C: 若角α的终边过点P(-3，4)，则cos α=- $\frac{3}{5}$
D: 若角α为锐角，则角2α为钝角

解析:

选项A，- $\frac{7 π}{6}$ 的终边与 $\frac{5 π}{6}$ 的终边相同，为第二象限角，所以A不正确；

选项B，设扇形的半径为r， $\frac{π}{3}$ r=π，所以r=3，

扇形面积为 $\frac{1}{2}$ ×3×π= $\frac{3 π}{2}$ ，所以B正确；

选项C，角α的终边过点P(-3，4)，根据三角函数的定义，cos α=- $\frac{3}{5}$ ，所以C正确；

选项D，当角α为锐角时，0<α< $\frac{π}{2}$ ，0<2α<π，所以D不正确.

第10题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)

A: 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变
B: 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C: 把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度
D: 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

解析:

由图象知，A=1，T=π，所以ω=2，y=sin(2x+φ)，将 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 代入得sin $(φ - \frac{π}{3})$ =0，

所以φ- $\frac{π}{3}$ =kπ，k∈Z，取k=0，则φ= $\frac{π}{3}$ ，

得y=sin $(2 x + \frac{π}{3})$ ，将y=sin x的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数y=sin $(x + \frac{π}{3})$ 的图象，然后将各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数y=sin $(2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，故A正确，B错误，D错误；

将y=sin x各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数y=sin 2x的图象.然后向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数y=sin 2 $(x + \frac{π}{6})$ =sin $(2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，故C正确.

第11题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)已知函数f(x)=2cos $(ω x + \frac{π}{3})$ (ω>0)的最小正周期为π，则(　　)

A: ω=2
B: 直线x= $\frac{π}{3}$ 是f(x)图象的一条对称轴
C: f(x)在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上单调递增
D: f(x)在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

解析:

对于A，因为函数f(x)=2cos $(ω x + \frac{π}{3})$ (ω>0)的最小正周期为π，所以 $\frac{2 π}{ω}$ =π，可得ω=2，故A正确；

对于B，f $(\frac{π}{3})$ =2cos $(2 \times \frac{π}{3} + \frac{π}{3})$ =2cos π=-2，故B正确；

对于C，当x∈ $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 时，2x+ $\frac{π}{3}$ ∈ $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ ，因为y=cos x在 $[- \frac{π}{2} ， 0)$ 上单调递增，在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减，所以f(x)在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上不单调，故C错误；

对于D，当x∈ $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 时，2x+ $\frac{π}{3}$ ∈ $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ ，所以cos $(2 x + \frac{π}{3})$ ∈ $[\frac{1}{2} ， 1]$ ，可得f(x)在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上的值域为[1，2]，故D错误.

第12题 (填空题) 难度 - 基础题：

函数f(x)=3sin $(2 x + \frac{π}{4})$ 的初始相位为　　　　　　　　.

答案:

$\frac{π}{4}$

解析:

函数f(x)=3sin $(2 x + \frac{π}{4})$ 的初始相位为 $\frac{π}{4}$ .

第13题 (填空题) 难度 - 基础题：

已知cos(α+765°)= $\frac{1}{4}$ ，则cos α-sin α=　　　　　　.

答案:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

解析:

因为cos(α+765°)=cos(α+45°+2×360°)=cos(α+45°)= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cos α- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sin α= $\frac{1}{4}$ ，

所以cos α-sin α= $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

第14题 (填空题) 难度 - 基础题：

函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为　　　　　　　.

答案:

$[2 k - \frac{5}{4} ， 2 k - \frac{1}{4}]$ ，k∈Z

解析:

由图象知T= $\frac{2 π}{|ω|}$ =2，所以ω=π，由五点法作图知 $\frac{π}{4}$ +φ=π，即φ= $\frac{3 π}{4}$ ，

∴f(x)=sin $(π x + \frac{3 π}{4})$ ，

令2kπ- $\frac{π}{2}$ ≤πx+ $\frac{3 π}{4}$ ≤2kπ+ $\frac{π}{2}$ ，k∈Z，

解得2k- $\frac{5}{4}$ ≤x≤2k- $\frac{1}{4}$ ，k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间为 $[2 k - \frac{5}{4} ， 2 k - \frac{1}{4}]$ ，k∈Z.

第15题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

已知sin α= $\frac{3}{5}$ ，α∈ $(\frac{π}{2} ， π)$ .

(1)求cos α，tan α的值；

(2)求sin 2α，cos 2α的值；

(3)求cos $(α - \frac{π}{3})$ 的值.

答案:

解　(1)因为sin α= $\frac{3}{5}$ ，α∈ $(\frac{π}{2} ， π)$ ，

所以cos α=- $\sqrt{1 - s i n^{2} α}$ =- $\frac{4}{5}$ ，tan α=- $\frac{3}{4}$ .

(2)sin 2α=2sin αcos α=- $\frac{24}{25}$ ，

cos 2α=cos²α-sin²α= $\frac{7}{25}$ .

(3)cos $(α - \frac{π}{3})$ =cos αcos $\frac{π}{3}$ +sin αsin $\frac{π}{3}$ = $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$ .

第16题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

已知函数f(x)=sin²x-cos²x+2 $\sqrt{3}$ sin x·cos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(α)= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求cos $(4 α - \frac{π}{3})$ 的值.

答案:

解　(1)f(x)=sin²x-cos²x+2 $\sqrt{3}$ sin xcos x=-cos 2x+ $\sqrt{3}$ sin 2x=2 $(\frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 x - \frac{1}{2} c o s 2 x)$ =2sin $(2 x - \frac{π}{6})$ ，

∴T=π.

(2)由(1)得f(α)=2sin $(2 α - \frac{π}{6})$ = $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴sin $(2 α - \frac{π}{6})$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴cos $(4 α - \frac{π}{3})$ =cos 2 $(2 α - \frac{π}{6})$ =1-2sin² $(2 α - \frac{π}{6})$ =1- $\frac{2}{5}$ = $\frac{3}{5}$ .

第17题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

已知函数f(x)= $\sqrt{2}$ sin $(2 x - \frac{π}{4})$ .

(1)求函数f(x)的最大值和最小值及相应自变量x的取值集合；

(2)画出函数y=f(x)在区间 $[0 ， π]$ 上的图象.

答案:

解　(1)当2x- $\frac{π}{4}$ = $\frac{π}{2}$ +2kπ，k∈Z，

即x= $\frac{3 π}{8}$ +kπ，k∈Z时，f(x)取到最大值 $\sqrt{2}$ ，

∴f(x)取得最大值时相应自变量x的取值集合为 $\{x |x = \frac{3 π}{8} + k π ， k \in Z\}$ ；当2x- $\frac{π}{4}$ =- $\frac{π}{2}$ +2kπ，k∈Z，

即x=- $\frac{π}{8}$ +kπ，k∈Z时，f(x)取到最小值- $\sqrt{2}$ ，

∴f(x)取得最小值时相应自变量x的取值集合为 $\{x |x = - \frac{π}{8} + k π ， k \in Z\}$ .

(2)列表：

描点、连线，f(x)的图象如图所示.

第18题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

直径为8 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点P₀)开始计算时间.

(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P在水面以下？

答案:

解　(1)由题意可知，ω= $\frac{6 \times 2 π}{60}$ = $\frac{π}{5}$ ，

设角φ $(- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 是以Ox为始边，OP₀为终边的角，

由条件得h=4sin $(\frac{π}{5} t + φ)$ +2 $(- \frac{π}{2} < φ < 0)$ ，

将t=0，h=0代入，得4sin φ+2=0，

∴φ=- $\frac{π}{6}$ ，∴h=4sin $(\frac{π}{5} t - \frac{π}{6})$ +2.

(2)由题意知4sin $(\frac{π}{5} t - \frac{π}{6})$ +2<0，

即sin $(\frac{π}{5} t - \frac{π}{6})$ <- $\frac{1}{2}$ ，

∴ $\frac{π}{5}$ t- $\frac{π}{6}$ ∈ $(2 k π + \frac{7 π}{6} ， 2 k π + \frac{11 π}{6})$ ，k∈Z.

即t∈ $(10 k + \frac{20}{3} ， 10 k + 10)$ ，k∈Z，

∴10- $\frac{20}{3}$ = $\frac{10}{3}$ .

∴在水轮转动的一圈内，点P在水下时间为 $\frac{10}{3}$ s.

第19题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

我们把平面直角坐标系中函数y=f(x)(x∈D)上满足x∈N^*，y∈N^*的点P(x，y)称为函数y=f(x)的“正格点”.

(1)请你选取一个m的值，使函数y=f(x)=sin mx(x∈R)的图象上有“正格点”，并写出函数的一个“正格点”坐标；

(2)若函数f(x)=sin mx(x∈R，m∈(1，2))与函数g(x)=lg x的图象有“正格点”交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数；

(3)对于(2)中的m值，若函数f(x)=sin mx，x∈ $[0 ， \frac{5}{9}]$ 时，不等式log_ax>sin mx恒成立，求实数a的取值范围.

答案:

解　(1)取m= $\frac{π}{2}$ 时，“正格点”坐标为(1，1)，(5，1)，(9，1)等(答案不唯一).

(2)作出两个函数图象.如图，

可知函数f(x)=sin mx，x∈R，与函数g(x)=lg x的图象只有一个“正格点”交点(10，1).

则2kπ+ $\frac{π}{2}$ =10m，m= $\frac{4 k + 1}{20}$ π(k∈Z)，

又m∈(1，2)，可得m= $\frac{9 π}{20}$ .

根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4.

(3)由(2)知f(x)=sin $\frac{9 π}{20}$ x，x∈ $[0 ， \frac{5}{9}]$ ，

当a>1时，不等式log_ax>sin $\frac{9 π}{20}$ x不能成立；

当0<a<1时，由(2)可得log_a $\frac{5}{9}$ >sin $\frac{π}{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

则 ${(\frac{5}{9})}^{\sqrt{2}}$ <a<1.

第五章 章末检测试卷(五)

第五章章末检测试卷(五)