第五章 作业16 二倍角的正弦、余弦、正切公式

化简$\sqrt{\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50°}{2}}$的结果是(　　)

• A: cos 115°
• B: sin 115°
• C: cos 35°
• D: sin 25°

解析:

$\sqrt{\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50°}{2}}$=$\sqrt{\frac{1-\left(1-2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}25°\right)}{2}}$=sin 25°.

已知点P(-3，4)为角α终边上一点，则tan 2α等于(　　)

• A: -$\frac{24}{7}$
• B: $\frac{12}{7}$
• C: -$\frac{12}{7}$
• D: $\frac{24}{7}$

解析:

因为点P(-3，4)为角α终边上一点，

所以tan α=-$\frac{4}{3}$，

所以tan 2α=$\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\alpha }$=$\frac{2\times \left(-\frac{4}{3}\right)}{1-{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2}$=$\frac{24}{7}$.

函数y=sin xcos xcos 2x的最小正周期是(　　)

• A: 2π
• B: π
• C: $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$
• D: $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

解析:

因为y=sin xcos xcos 2x=$\frac{1}{2}$sin 2xcos 2x=$\frac{1}{4}$sin 4x，

所以所求最小正周期T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{4}$=$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

已知tan θ=2，则$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\theta -\mathrm{\pi })}{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\theta \right)}$等于(　　)

• A: -$\frac{1}{2}$
• B: $\frac{1}{2}$
• C: -2
• D: 2

解析:

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\theta -\mathrm{\pi })}{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\theta \right)}$=$\frac{-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta }{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\theta }$=$\frac{-2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }$=-$\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }$=-$\frac{1}{2}$.

已知sin(15°+α)=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，则sin(240°-2α)等于(　　)

• A: $\frac{2\sqrt{14}}{9}$
• B: -$\frac{2\sqrt{14}}{9}$
• C: $\frac{5}{9}$
• D: -$\frac{5}{9}$

解析:

由已知可得sin(240°-2α)=sin[270°-(30°+2α)]=-cos(30°+2α)=2sin²(15°+α)-1=2×${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^2$-1=-$\frac{5}{9}$.

(多选)已知-π<α<-$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$，且cos α=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，则(　　)

• A: sin α=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$
• B: tan α=5
• C: cos 2α=-$\frac{24}{25}$
• D: sin 2α=$\frac{7}{25}$

解析:

因为-π<α<-$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$，且cos α=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，所以sin α=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，tan α=$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }$=$\frac{-\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}}$=7，故A正确，B错误；

cos 2α=cos²α-sin²α=${\left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right)}^2$-${\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)}^2$=-$\frac{24}{25}$，故C正确；

sin 2α=2sin αcos α=2×$\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)$×$\left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right)$=$\frac{7}{25}$，故D正确.

(多选)下列各式的值，不为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的是(　　)

• A: $\sqrt{\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}120°}{2}}$
• B: cos²22.5°-cos²67.5°
• C: cos 15°sin 45°-sin 15°cos 45°
• D: $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}15°}{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}15°}$

解析:

选项A，$\sqrt{\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}120°}{2}}$=$\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}60°}$=sin 60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

选项B，cos²22.5°-cos²67.5°=cos²22.5°-sin²22.5°=cos 45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

选项C，cos 15°sin 45°-sin 15°cos 45°=sin(45°-15°)=sin 30°=$\frac{1}{2}$；

选项D，$\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}15°}{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}15°}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}15°}{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}15°}$=$\frac{1}{2}$tan 30°=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

(多选)函数f(x)=2cos²$\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$-1(　　)

• A: 最小正周期为π
• B: 最小正周期为$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$
• C: 是奇函数
• D: 是偶函数

解析:

f(x)=2cos²$\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$-1=cos$\left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$=sin 2x，

所以T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{2}$=π，

又f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x)，

所以函数为奇函数.

sin$\frac{\mathrm{\pi }}{12}$cos$\frac{\mathrm{\pi }}{12}$=　　　　　　.

答案:

$\frac{1}{4}$

解析:

sin$\frac{\mathrm{\pi }}{12}$cos$\frac{\mathrm{\pi }}{12}$=$\frac{1}{2}$sin$\frac{\mathrm{\pi }}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$.

已知sin$\left(\theta +\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos$\left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\theta \right)$的值为　　　　　　.

答案:

-$\frac{1}{3}$

解析:

cos$\left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\theta \right)$=-cos$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\theta \right)$=-cos$\left[2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\theta \right)\right]$=2sin²$\left(\theta +\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$-1=2×${\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$-1=-$\frac{1}{3}$.

已知cos$\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$=$\frac{2}{3}$，则sin$\left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$=　　　　　　　，sin 2α=　　　　　　　.

答案:

$\frac{2}{3}$　-$\frac{1}{9}$

解析:

因为α+$\frac{\mathrm{\pi }}{4}$=α-$\frac{\mathrm{\pi }}{4}$+$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$，

所以sin$\left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$=sin$\left[\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$=cos$\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$=$\frac{2}{3}$.

因为2α=2$\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$+$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$，

所以sin 2α=sin$\left[2\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$=cos$\left[2\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right]$=2cos²$\left(\alpha -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$-1=2×${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$-1=-$\frac{1}{9}$.

已知tan α=$\frac{1}{3}$，tan β=-$\frac{1}{7}$，且α，β∈(0，π)，则2α-β=　　　　　　　　　　.

答案:

-$\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

解析:

因为tan α=$\frac{1}{3}$>0，tan β=-$\frac{1}{7}$<0，α，β∈(0，π)，

所以α∈$\left(0，\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$，β∈$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}，\mathrm{\pi }\right)$，

因为tan 2α=$\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\alpha }$=$\frac{2\times \frac{1}{3}}{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$=$\frac{3}{4}$>0，

所以2α∈$\left(0，\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$，β∈$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}，\mathrm{\pi }\right)$，

因此-π<2α-β<0，

因为tan(2α-β)=$\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\alpha -\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{1+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1+\frac{3}{4}\times \left(-\frac{1}{7}\right)}$=1，

所以2α-β=-$\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$.

求函数f(x)=cos⁴x-sin⁴x-1的最小正周期.

答案:

解　因为f(x)=cos⁴x-sin⁴x-1=(cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)-1=cos²x-sin²x-1=cos 2x-1，

即f(x)=cos 2x-1，

所以f(x)=cos 2x-1的最小正周期T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{2}$=π.

求下列各式的值.

(1)sin 15°sin 30°sin 75°；

(2)$\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°}$-$\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°}$.

答案:

解　(1)sin 15°sin 30°sin 75°=$\frac{1}{2}$sin 15°cos 15°=$\frac{1}{4}$sin 30°=$\frac{1}{8}$.

(2)$\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°}$-$\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°}$=$\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°-\sqrt{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°}$=$\frac{2\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}30°\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}30°\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°}$=$\frac{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(30°-10°)}{\frac{1}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$=4.

求证：

(1)cos²(A+B)-sin²(A-B)=cos 2Acos 2B；

(2)cos²θ(1-tan²θ)=cos 2θ.

答案:

证明　(1)左边=$\frac{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2A+2B)}{2}$-$\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2A-2B)}{2}$=$\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2A+2B)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2A-2B)}{2}$

=$\frac{1}{2}$(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)

=cos 2Acos 2B=右边，

∴原等式成立.

(2)方法一　左边=cos²θ$\left(1-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta }\right)$=cos²θ-sin²θ=cos 2θ=右边.

∴原等式成立.

方法二　右边=cos 2θ=cos²θ-sin²θ=cos²θ$\left(1-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta }\right)$=cos²θ(1-tan²θ)=左边.

∴原等式成立.

已知α为第二象限角，且sin α=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\alpha +1}$的值.

答案:

解　原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +2\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha }$=$\frac{\sqrt{2}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )}{4\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )}$.

因为α为第二象限角，且sin α=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，

所以sin α+cos α≠0，cos α=-$\frac{1}{4}$，

所以原式=$\frac{\sqrt{2}}{4\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }$=-$\sqrt{2}$.

若α∈$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}，2\mathrm{\pi }\right)$，则$\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }$+$\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }$=　　　　　　.

答案:

-2cos$\frac{\alpha }{2}$

解析:

α∈$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}，2\mathrm{\pi }\right)$，则$\frac{\alpha }{2}$∈$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}，\mathrm{\pi }\right)$，所以sin$\frac{\alpha }{2}$>cos$\frac{\alpha }{2}$，sin$\frac{\alpha }{2}$+cos$\frac{\alpha }{2}$<0，$\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }$+$\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }$=$\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\frac{\alpha }{2}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\frac{\alpha }{2}-2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{2}}$+$\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\frac{\alpha }{2}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\frac{\alpha }{2}+2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{2}}$

=$\sqrt{{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{2}\right)}^2}$+$\sqrt{{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{2}\right)}^2}$

=sin$\frac{\alpha }{2}$-cos$\frac{\alpha }{2}$-$\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{2}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{2}\right)$=-2cos$\frac{\alpha }{2}$.

化简：(1)$\frac{1}{1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }$-$\frac{1}{1+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }$；

(2)(2$\sqrt{3}$sin 70°-tan 70°)sin 80°.

答案:

解　(1)原式=$\frac{(1+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta )-(1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta )}{(1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta )(1+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta )}$=$\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }$=tan 2θ.

(2)(2$\sqrt{3}$sin 70°-tan 70°)sin 80°=$\left(2\sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}\right)$cos 10°

=$\frac{2\sqrt{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$·cos 10°=$\frac{\sqrt{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}40°-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$·cos 10°

=$\frac{\sqrt{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(60°-20°)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$·cos 10°=$\frac{\frac{3}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$·cos 10°

=$\frac{\frac{1}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20°-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$·cos 10°=$\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}80°}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}20°}$·cos 10°=$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}10°\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}10°}$=$\frac{1}{2}$.