第五章 作业9 周期性与奇偶性

函数f(x)=2cos$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$是(　　)

• A: 最小正周期为2π的奇函数
• B: 最小正周期为2π的偶函数
• C: 最小正周期为π的奇函数
• D: 最小正周期为π的偶函数

解析:

因为f(x)=2cos$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$=-2sin 2x，

所以f(x)的最小正周期T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{2}$=π，且为奇函数.

函数f(x)=sin$\left(\omega x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$(ω>0)的最小正周期为$\frac{\mathrm{\pi }}{5}$，则ω等于(　　)

• A: 5
• B: 10
• C: 15
• D: 20

解析:

由题意知T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{\omega }$=$\frac{\mathrm{\pi }}{5}$，所以ω=10.

若函数f(x)=2sin$\left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\phi \right)$是奇函数，则φ的值可以是(　　)

• A: $\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$
• B: $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$
• C: -$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$
• D: -$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

解析:

若函数f(x)=2sin$\left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\phi \right)$是奇函数，

则-$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$+φ=kπ，k∈Z，

得φ=$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$+kπ，k∈Z ，当k=-1时，φ=-$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$.

函数y=f(x)=xsin x的部分图象是(　　)

• A: 　
• B: 　
• C: 　
• D:

解析:

∵f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)，

∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，排除C，故选A.

设f(x)是定义域为R，最小正周期为$\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$的函数，若f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x，-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le x\le 0，\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x，0<x\le \mathrm{\pi }，\end{array}\right.$则f$\left(-\frac{15\mathrm{\pi }}{4}\right)$等于(　　)

• A: 1
• B: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C: 0
• D: -$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解析:

f$\left(-\frac{15\mathrm{\pi }}{4}\right)$=f$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\times (-3)+\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)$=f$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)$=sin$\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(多选)下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是(　　)

• A: y=|cos x|
• B: y=sin 6x
• C: y=sin$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$
• D: y=cos$\frac{1}{2}$x

解析:

A中，由y=|cos x|的图象知，y=|cos x|是最小正周期为π的偶函数，所以A正确；

B中，函数为奇函数，所以B不正确；

C中，y=sin$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$=cos 2x，T=π，所以C正确；

D中，函数y=cos$\frac{1}{2}$x，T=4π，所以D不正确.

(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，正确的是(　　)

• A: 对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
• B: 存在φ，使f(x)是奇函数
• C: 对任意的φ，f(x)都不是偶函数
• D: 不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数

解析:

当φ=π时，f(x)=sin(x+π)=-sin x，是奇函数.

当φ=$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$时，f(x)=sin$\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$=cos x，是偶函数.

故A，C错误，B正确；

无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确.

(多选)关于函数f(x)=4sin$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$(x∈R)，下列命题正确的是(　　)

• A: y=f(x)的解析式可改写为y=4cos$\left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$
• B: y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
• C: y=f$\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$是奇函数
• D: y=f$\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{12}\right)$的图象关于y轴对称

解析:

A正确，f(x)=4sin$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$=4cos$\left[\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)\right]$=4cos$\left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$；

B错误，由题意知T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{2}$=π；

C正确，f$\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$=4sin $\left[2\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right]$=4sin 2x，是奇函数；

D正确，f$\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{12}\right)$=4sin$\left[2\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{12}\right)+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right]$=4cos 2x，是偶函数，其图象关于y轴对称.

函数f(x)=sin$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2x\right)$是　　　　　函数.(填“奇”或“偶”)

答案:

偶

解析:

由题意知f(x)的定义域为R，关于原点对称.

因为f(x)=sin$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2x\right)$=-cos 2x，

所以f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x)，

所以f(x)=sin$\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2x\right)$为偶函数.

函数y=$\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }\frac{x}{2}\right|$的最小正周期是　　　　　　.

答案:

2π

解析:

∵y=sin $\frac{x}{2}$的最小正周期为T=4π，而y=$\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }\frac{x}{2}\right|$的图象是把y=sin $\frac{x}{2}$的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y=$\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }\frac{x}{2}\right|$的最小正周期为2π.

若函数f(x)=xcos x+c是奇函数，则f(-π)=　　　　　　.

答案:

π

解析:

∵函数f(x)=xcos x+c是奇函数，且定义域为R，

∴f(0)=c=0，∴f(x)=xcos x，

经检验f(x)为奇函数，满足题意，

∴f(-π)=-πcos(-π)=π.

已知函数f(x)的一个周期为6，且f(2)=$\frac{1}{2}$，则f(2 024)=　　　　　　.

答案:

$\frac{1}{2}$

解析:

由题意得f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=$\frac{1}{2}$.

已知函数f(x)=sin$\left(\omega x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$(ω>0)的最小正周期为π，求f$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$.

答案:

解　∵函数f(x)=sin$\left(\omega x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$(ω>0)的最小正周期为π，

∴周期T=$\frac{2\mathrm{\pi }}{\omega }$=π，解得ω=2，

即f(x)=sin$\left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$，

∴f$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$=sin$\left(2\times \frac{\mathrm{\pi }}{8}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$=sin$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$=1.

判断下列函数的奇偶性.

(1)y=x²+cos x；

(2)y=x²sin x.

答案:

解　(1)令y=f(x)=x²+cos x，

则f(-x)=(-x)²+cos(-x)=x²+cos x=f(x)，且定义域为R，

∴y=x²+cos x为偶函数.

(2)令y=f(x)=x²sin x，

则f(-x)=(-x)²sin(-x)=-x²sin x=-f(x)，且定义域为R，

∴y=x²sin x为奇函数.

已知f(x)是周期为π的偶函数，当x∈$\left[0，\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$时，f(x)=1-sin x，求f$\left(\frac{10\mathrm{\pi }}{3}\right)$，f$\left(-\frac{25\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

答案:

解　∵T=π，且f(x)为偶函数，

∴f$\left(\frac{10\mathrm{\pi }}{3}\right)$=f$\left(3\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$=f$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$=1-sin$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

f$\left(-\frac{25\mathrm{\pi }}{6}\right)$=f$\left(-4\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$=f$\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$=f$\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$=1-sin$\frac{\mathrm{\pi }}{6}$=$\frac{1}{2}$.

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=2cos$\left(\frac{2}{3}x+\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right)$；

(2)f(x)=cos x-x³sin x.

答案:

解　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，

∵f(x)=2cos$\left(\frac{2}{3}x+\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right)$=2cos$\left(\frac{2}{3}x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$=-2sin$\frac{2}{3}$x，

∴f(-x)=-2sin$\left(-\frac{2}{3}x\right)$=2sin$\frac{2}{3}$x=-f(x).

∴f(x)为奇函数.

(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，

∵f(-x)=cos(-x)-(-x)³sin(-x)=cos x-x³sin x=f(x)，

∴f(x)为偶函数.

设函数f(x)=x³cos x+1，若f(a)=11，则f(-a)=　　　　　　.

答案:

-9

解析:

令g(x)=x³cos x，x∈R，

∴g(-x)=(-x)³cos(-x)=-x³cos x=-g(x)，

∴g(x)为奇函数，又f(x)=g(x)+1，

∴f(a)=g(a)+1=11，即g(a)=10，

则f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.

已知函数f(x)=$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}$.

(1)求函数f(x)的定义域并判断它的奇偶性；

(2)求函数f(x)的最小正周期.

答案:

解　(1)由cos x+1≠0，得x≠2kπ+π，k∈Z，

所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠2kπ+π，k∈Z}.

f(x)=$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}$=$\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}$=$\frac{-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+2}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}$=$\frac{(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1)(2-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+1}$=2-cos x.

因为f(-x)=f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以函数f(x)为偶函数.

(2)因为f(x)=2-cos x(x≠2kπ+π，k∈Z)，

所以f(x)的最小正周期为2π.