第四章 章末检测试卷(四)

(课本P160复习参考题4 T5(1))已知集合A=｛y|y=log₂x，x>1｝，B=$\left\{y\left|y=\frac{1}{2^x}\right.，x>1\right\}$，则A∩B等于(　　)

• A: $\left\{y\left|0<y<\frac{1}{2}\right.\right\}$
• B: ｛y|0<y<1｝
• C: $\left\{y\left|\frac{1}{2}<y<1\right.\right\}$
• D: ∅

解析:

A=｛y|y=log₂x，x>1｝=｛y|y>0｝，B=$\left\{y\left|y=\frac{1}{2^x}\right.，x>1\right\}$=$\left\{y\left|0<y<\frac{1}{2}\right.\right\}$，所以A∩B=$\left\{y\left|0<y<\frac{1}{2}\right.\right\}$.

函数f(x)=2a^x-1-1(a>0，且a≠1)恒过定点(　　)

• A: (1，-1)
• B: (1，1)
• C: (0，1)
• D: (0，-1)

解析:

由题意知，x-1=0，即x=1，

此时f(x)=2a⁰-1=1，

所以函数恒过定点(1，1).

下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是(　　)

• A: y=$\sqrt{x}$
• B: y=-x²+x
• C: y=2^x
• D: y=-log₂x

解析:

y=$\sqrt{x}$在(0，+∞)上单调递增，故A错误；

y=-x²+x=-${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$+$\frac{1}{4}$，在$\left(0，\frac{1}{2}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{1}{2}，+\infty \right)$上单调递减，故B错误；

y=2^x在(0，+∞)上单调递增，故C错误；

y=log₂x在(0，+∞)上单调递增，故y=-log₂x在(0，+∞)上单调递减，故D正确.

某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)

• A: y=ax+b
• B: y=ax²+bx+c
• C: y=ae^x+b
• D: y=aln x+b

解析:

从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数.

函数f(x)=$\sqrt{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{ }x}$+lg (5-3x)的定义域是(　　)

• A: $\left[0，\frac{5}{3}\right)$
• B: $\left[0，\frac{5}{3}\right]$
• C: $\left[1，\frac{5}{3}\right)$
• D: $\left[1，\frac{5}{3}\right]$

解析:

由$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{ }x\ge 0,\\ 5-3x>0,\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x\ge 1,\\ x<\frac{5}{3},\end{array}\right.$即1≤x<$\frac{5}{3}$.

设f(x)=3^x-x²，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

• A: [0，1]
• B: [1，2]
• C: [-2，-1]
• D: [-1，0]

解析:

∵f(-1)=3^-1-(-1)²=$\frac{1}{3}$-1=-$\frac{2}{3}$<0，

f(0)=3⁰-0²=1>0，

∴f(-1)f(0)<0，

∴使函数f(x)有零点的区间是[-1，0].

设a=2^0.7，b=${\left(\frac{1}{2}\right)}^{0.7}$，c=log₆0.7，则(　　)

• A: a<b<c
• B: c<a<b
• C: c<b<a
• D: a<c<b

解析:

因为c=log₆0.7<0<b=${\left(\frac{1}{2}\right)}^{0.7}$<1<a=2^0.7，

所以c<b<a.

函数f(x)=$\frac{1-x}{{\mathrm{e}}^x}$的图象大致为(　　)

• A:
• B:
• C:
• D:

解析:

当x<1时，1-x>0，f(x)=$\frac{1-x}{{\mathrm{e}}^x}$>0，故排除B，C；

当x>1时，1-x<0，f(x)=$\frac{1-x}{{\mathrm{e}}^x}$<0，故排除D.

(多选)下列计算成立的是(　　)

• A: log₂8-log₂4=log₂4=2
• B: log₃5+log₃4=log₃9=2
• C: lg 2+lg 5=lg 10=1
• D: log₂2³=3log₂2=3

解析:

log₂8-log₂4=log₂$\frac{8}{4}$=log₂2=1，故A选项错误；

log₃5+log₃4=log₃(5×4)=log₃20，故B选项错误；

lg 2+lg 5=lg (2×5)=lg 10=1，故C选项正确；

log₂2³=3log₂2=3，故D选项正确.

(多选)若直线y=3a与函数y=|a^x-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a可以是(　　)

• A: 2
• B: $\frac{1}{3}$
• C: $\frac{1}{4}$
• D: $\frac{1}{8}$

解析:

由题意，直线y=3a与函数y=|a^x-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，

当0<a<1时，y=|a^x-1|的图象如图(1)所示，

由已知得0<3a<1，∴0<a<$\frac{1}{3}$；

当a>1时，y=|a^x-1|的图象如图(2)所示，

由已知可得0<3a<1，

∴0<a<$\frac{1}{3}$，结合a>1可得a无解.

综上可知，a的取值范围为$\left(0，\frac{1}{3}\right)$.

(多选)边际函数是经济学中的一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域中都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f$\left(x+1\right)$-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台$\left(x\in {\mathbf{N}}^{\mathrm{*}}\right)$的收入函数R(x)=3000x-20x²(单位：元)，其成本函数C(x)=500x+4000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　)

• A: P(x)取得最大值时，每月产量为63台
• B: 边际利润函数的表达式为MP(x)=2480-40x$\left(x\in {\mathbf{N}}^{\mathrm{*}}\right)$
• C: 利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值
• D: 边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少

解析:

对于A选项，P(x)=R(x)-C(x)=-20x²+2500x-4000，二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x=$\frac{2500}{40}$=62.5，因为x∈N^*，所以P(x)取得最大值时，每月产量为63台或62台，A错；对于B选项，MP(x)=P$\left(x+1\right)$-P(x)=-20${\left(x+1\right)}^2$+2500$\left(x+1\right)$-4000-$\left(-20x^2+2500x-4000\right)$=2480-40x$\left(x\in {\mathbf{N}}^{\mathrm{*}}\right)$，B对；对于C选项，P(x)_max=P$\left(62\right)$=P$\left(63\right)$=74120，因为函数MP(x)=2480-40x为减函数，则MP(x)_max=MP$\left(1\right)$=2440，C对；对于D选项，函数MP(x)=2480-40x为减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.

lo${\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}$5-lo${\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}$45+$4^{\frac{3}{2}}$的值为　　　　.

答案:

10

解析:

原式=lo${\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}\frac{5}{45}$+$(2^2{)}^{\frac{3}{2}}$=lo${\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{9}$+2³=2+8=10.

用二分法求函数f(x)=3^x-x-4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程3^x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)可取　　　　.

答案:

1.5562(答案不唯一)

解析:

由f(1.5625)f(1.5562)<0，且|1.5562-1.5625|=0.0063<0.01，得方程3^x-x-4=0的一个近似解可以为1.5562.

已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}|2^x-1|,x\le 2,\\ -x+5,x>2,\end{array}\right.$若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为　　　　.

答案:

[1，3)∪{0}

解析:

因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解，

所以函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点，作出函数图象，如图所示，

所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点，

所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}.

(1)计算：lg $\frac{5}{2}$+2lg 2+log₂5×log₅4；

(2)求不等式$0.2^{1-x^2}$<5^2x+2的解集.

答案:

解　(1)lg $\frac{5}{2}$+2lg 2+log₂5×log₅4=lg $\frac{5}{2}$+lg 2²+log₂5×log₅2²

=lg $\left(\frac{5}{2}\times 4\right)$+2log₂5×log₅2=lg 10+2=1+2=3.

(2)$0.2^{1-x^2}$<5^2x+2，

即(5^-1${)}^{1-x^2}$<5^2x+2，即$5^{x^2-1}$<5^2x+2，

因为函数y=5^x在R上是增函数，

所以x²-1<2x+2，即x²-2x-3<0，

解得-1<x<3，

所以原不等式的解集为(-1，3).

已知函数f(x)=4^x+m·4^-x.

(1)若f(x)为偶函数，求实数m的值；

(2)若f(x)为奇函数，求实数m的值；

答案:

解　(1)若f(x)为偶函数，

则f(-x)=4^-x+m·4^x=f(x)=4^x+m·4^-x，

即(m-1)(4^x-4^-x)=0，

则m-1=0，解得m=1.

(2)若f(x)为奇函数，

则f(-x)=4^-x+m·4^x=-f(x)=-4^x-m·4^-x，

即(m+1)(4^x+4^-x)=0，

则m+1=0，解得m=-1.

已知函数y=log₄(2x+3-x²).

(1)求函数的定义域；

(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.

答案:

解　(1)由真数2x+3-x²>0，

解得-1<x<3，

所以函数的定义域为{x|-1<x<3}.

(2)将原函数分解为y=log₄u，u=2x+3-x²两个函数.

因为u=2x+3-x²=-(x-1)²+4≤4，

所以当x=1时，u取得最大值4，

又y=log₄u为增函数，

所以y=log₄(2x+3-x²)≤log₄4=1.

所以y的最大值为1，

此时x=1.

已知指数函数f(x)=a^x(a>0，且a≠1)过点(m，n)，在①$\sqrt{2m-2}$+$\sqrt{9-3n}$=0；②函数y=x²-2x+4的顶点坐标为(m，n)；③函数y=log_bx+3(b>0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题.

(1)求f(x)的解析式，并判断g(x)=f(x)+$\frac{1}{f\left(x\right)}$的奇偶性；

(2)解不等式：log_a(1+x)<log_a(2-x).

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

答案:

解　(1)由①可知，$\sqrt{2m-2}$+$\sqrt{9-3n}$=0，

即$\left\{\begin{array}{l}2m-2=0,\\ 9-3n=0,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=1,\\ n=3.\end{array}\right.$

由②可知，函数y=x²-2x+4=(x-1)²+3的顶点坐标为(1，3)，

则$\left\{\begin{array}{l}m=1,\\ n=3.\end{array}\right.$

由③可知，函数y=log_bx+3(b>0，且b≠1)过定点(1，3)，

则$\left\{\begin{array}{l}m=1,\\ n=3.\end{array}\right.$

综上，三个条件中任选一个，

均有$\left\{\begin{array}{l}m=1,\\ n=3,\end{array}\right.$即f(x)=a^x过点(1，3)，

即a=3，f(x)=3^x.

g(x)=f(x)+$\frac{1}{f\left(x\right)}$=3^x+3^-x，x∈R，

g(-x)=f(-x)+$\frac{1}{f(-x)}$=3^-x+3^x=g(x)，

∴g(x)为偶函数.

(2)log_a(1+x)<log_a(2-x)，

即log₃(1+x)<log₃(2-x)，

可化为2-x>1+x>0，

∴-1<x<$\frac{1}{2}$.

即不等式log_a(1+x)<log_a(2-x)的解集为$\left\{x\left|-1<x<\frac{1}{2}\right.\right\}$.

某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log₂₅(x+1)-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1).

(1)若a=$\frac{1}{2}$，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；

(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？

答案:

解　(1)因为a=$\frac{1}{2}$，

则f(x)=$\left|\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{25}(x+1)-\frac{1}{2}\right|$+2≥2.

当f(x)=2时，log₂₅(x+1)-$\frac{1}{2}$=0，

得x+1=2$5^{\frac{1}{2}}$=5，即x=4.

所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.

(2)设t=log₂₅(x+1)，

则当0≤x≤24时，0≤t≤1.

设g(t)=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，

则g(t)=$\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1,0\le t\le a,\\ t+a+1,a<t\le 1,\end{array}\right.$

显然g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增，

则f(x)_max=max{g(0)，g(1)}，

因为g(0)=3a+1，g(1)=a+2，

则有$\left\{\begin{array}{l}g\left(0\right)=3a+1\le 3,\\ g\left(1\right)=a+2\le 3,\end{array}\right.$

解得a≤$\frac{2}{3}$，

又a∈(0，1)，

故调节参数a应控制在$\left(0，\frac{2}{3}\right]$内.