第三章 作业8 奇偶性的应用

设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right),x<0,\\ x^2-2x,x>0,\end{array}\right.$若f(x)是奇函数，则g(-2)等于(　　)

• A: -1
• B: 0
• C: 1
• D: 2

解析:

由已知可得g(-2)=f(-2)=-f(2)=-(2²-2×2)=0.

已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)

• A: f(2)<f(-1)<f(0)
• B: f(2)<f(0)<f(-1)
• C: f(-1)<f(0)<f(2)
• D: f(0)<f(-1)<f(2)

解析:

因为f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递减，

则f(x)在(-∞，0]上也单调递减，

所以f(x)在R上单调递减，

因为-1<0<2，

所以f(2)<f(0)<f(-1).

如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　)

• A: 单调递增且最小值为-5
• B: 单调递增且最大值为-5
• C: 单调递减且最小值为-5
• D: 单调递减且最大值为-5

解析:

∵f(x)为奇函数，

∴f(x)在[1，3]上的单调性与在[-3，-1]上一致，

∴f(x)在区间[1，3]上单调递增，

又f(x)在区间[-3，-1]上有最大值5，

∴f(x)在区间[1，3]上有最小值-5.

函数f(x)=$\frac{4\left|x\right|}{x^2+1}$的图象大致为(　　)

• A:
• B:
• C:
• D:

解析:

f(x)的定义域为R，

∵f(-x)=$\frac{4|-\left.x\right|}{(-x{)}^2+1}$=$\frac{4\left|x\right|}{x^2+1}$=f(x)，

∴f(x)为偶函数，排除B，D，

又∵f(x)≥0，故选A.

函数y=f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，若f(m)≤f(4)，则实数m的取值范围是(　　)

• A: m≤4
• B: m≥4
• C: -4≤m≤4
• D: m≤-4或m≥4

解析:

由题意，偶函数y=f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减，

又f(m)≤f(4)，则|m|≥4⇒m≤-4或m≥4.

(多选)一个偶函数定义在区间[-7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

• A: 这个函数有三个单调递增区间
• B: 这个函数有两个单调递减区间
• C: 这个函数在其定义域内有最大值7
• D: 这个函数在其定义域内有最小值-7

解析:

根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[-7，0]上的图象，如图所示，

可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，在其定义域内的最小值不是-7.

(多选)已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0，5]上单调.若f(-4)<f(-2)，则下列不等式不成立的是(　　)

• A: f(-1)<f(3)
• B: f(2)<f(3)
• C: f(-3)<f(5)
• D: f(0)>f(1)

解析:

由题意可得，函数f(x)在区间[-5，0]上也单调，再根据f(-4)<f(-2)，可得函数f(x)在区间[-5，0]上单调递增，所以函数f(x)在区间[0，5]上单调递减，故f(-1)=f(1)>f(3)，f(2)>f(3)，f(-3)=f(3)>f(5)，f(0)>f(1).

(多选)函数f(x)的图象是折线段ABC，如图所示，其中点A，B，C的坐标分别为(-1，2)，(1，0)，(3，2)，以下说法正确的是(　　)

• A: f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-x+1,-1\le x<1,\\ x-\mathrm{1,1}\le x\le 3\end{array}\right.$
• B: f(x-1)的定义域为[-1，3]
• C: f(x+1)为偶函数
• D: 若f(x)在[m，3]上单调递增，则m的最小值为1

解析:

因为点A，B，C的坐标分别为(-1，2)，(1，0)，(3，2)，

所以f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-x+1,-1\le x<1,\\ x-\mathrm{1,1}\le x\le 3,\end{array}\right.$

故A正确；

因为f(x)的定义域为[-1，3]，所以f(x-1)的定义域为[0，4]，故B错误；

因为f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，所以f(x+1)为偶函数，故C正确；

由图象可知m的最小值为1，故D正确.

设偶函数f(x)在区间(-∞，-2)上单调递减，则f(3)与f(-4)的大小关系为　　　　　. 

答案:

f(3)<f(-4)

解析:

∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，

∴f(3)=f(-3)，

又f(x)在区间(-∞，-2)上单调递减，

且-4<-3<-2，

∴f(3)=f(-3)<f(-4).

已知函数f(x)是定义在[-3，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)=-x(x+1).则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　. 

答案:

f(x)=$\left\{\begin{array}{l}x(x-1),-3\le x<0,\\ -x(x+1),0\le x\le 3\end{array}\right.$

解析:

设-3≤x<0，则3≥-x>0，

则有f(-x)=x(-x+1)=-x(x-1)，

又因为f(x)=-f(-x)，

所以f(x)=x(x-1)，又f(0)=0，

所以f(x)=$\left\{\begin{array}{l}x(x-1),-3\le x<0,\\ -x(x+1),0\le x\le 3.\end{array}\right.$

若f(x)=(m-1)x²+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)从小到大的排列是　　　　　　　. 

答案:

f(-2)<f(1)<f(0)

解析:

∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)恒成立，

即(m-1)x²-6mx+2=(m-1)x²+6mx+2恒成立，

∴m=0，即f(x)=-x²+2.

∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，+∞)上单调递减，

又2>1>0，∴f(2)<f(1)<f(0)，

即f(-2)<f(1)<f(0).

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若f(-3)=0，则$\frac{f\left(x\right)}{x}$<0的解集为　　　　　　　　　　　　. 

答案:

{x|-3<x<0或x>3}

解析:

∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增，

∴f(x)在区间(0，+∞)上单调递减.

∴f(3)=f(-3)=0.

当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；

当x<0时，由f(x)>0，

解得-3<x<0.

故所求解集为{x|-3<x<0或x>3}.

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+$\frac{3}{x}$-4.求函数f(x)在R上的解析式.

答案:

解　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=0，设x<0，则-x>0，

当x>0时，由f(x)=x+$\frac{3}{x}$-4可知，

f(-x)=-x-$\frac{3}{x}$-4，

又f(x)为奇函数，

故f(x)=-f(-x)=x+$\frac{3}{x}$+4(x<0)，

所以函数f(x)在R上的解析式为

f(x)=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{3}{x}+4,x<0,\\ 0,x=0,\\ x+\frac{3}{x}-4,x>0.\end{array}\right.$

已知f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(x)在(-1，1)上是减函数，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.

答案:

解　∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，

由f(1-x)+f(1-2x)<0，得

f(1-x)<-f(1-2x)，即f(1-x)<f(2x-1).

又∵f(x)在(-1，1)上是减函数，

∴$\left\{\begin{array}{l}-1<1-x<1,\\ -1<2x-1<1,\\ 1-x>2x-1,\end{array}\right.$解得0<x<$\frac{2}{3}$，

∴原不等式的解集为$\left\{x\left|0<x<\frac{2}{3}\right.\right\}$.

(课本P86习题3.2T11)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x).画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

答案:

解　因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(-x)=-f(x).

因为当x≥0时，f(x)=x(1+x)，

所以当x<0时，-x>0，

所以f(-x)=(-x)(1-x)=-x(1-x)，

所以f(x)=-f(-x)=x(1-x).

所以f(x)=$\left\{\begin{array}{l}x(1+x),x\ge 0,\\ x(1-x),x<0.\end{array}\right.$

它的图象如图所示.

已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)=x²+2x.

(1)比较f(-2)与f(1)的大小；

(2)解不等式f(3x-2)<8.

答案:

解　(1)因为f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=x²+2x，

所以f(1)=1²+2=3，f(-2)=f(2)=8，

所以f(-2)>f(1).

(2)当x∈[0，+∞)时，令f(x)=x²+2x=8，

解得x₁=2，x₂=-4(舍去)，即f(2)=8，

所以不等式f(3x-2)<8，即f(3x-2)<f(2)，

又f(x)在R上为偶函数，f(x)在[0，+∞)上单调递增，

则|3x-2|<2，所以0<x<$\frac{4}{3}$，

所以不等式的解集为$\left\{x\left|0<x<\frac{4}{3}\right.\right\}$.

已知定义在R上的奇函数满足f(x+8)=f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(　　)

• A: f(25)<f(-1)<f(80)
• B: f(25)<f(80)<f(-1)
• C: f(-1)<f(25)<f(80)
• D: f(-1)<f(80)<f(25)

解析:

∵f(x+8)=f(x)，∴f(25)=f(17)=f(9)=f(1)，同理f(80)=f(0)，

又∵奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，

∴f(x)在区间[-2，2]上单调递增，

∴f(-1)<f(0)<f(1)，

即f(-1)<f(80)<f(25).

已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)=$\frac{1}{f\left(x\right)}$在(-∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论.

答案:

解　F(x)在(-∞，0)上单调递减.

证明如下：任取x₁，x₂∈(-∞，0)，且x₁<x₂，

则有-x₁>-x₂>0.

因为y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0，

所以f(-x₂)<f(-x₁)<0， ①

又因为f(x)是奇函数，

所以f(-x₂)=-f(x₂)，f(-x₁)=-f(x₁)， ②

由①②得f(x₂)>f(x₁)>0.

于是F(x₁)-F(x₂)=$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{f\left(x_1\right)·f\left(x_2\right)}$>0，

即F(x₁)>F(x₂)，

所以F(x)=$\frac{1}{f\left(x\right)}$在(-∞，0)上单调递减.