第二章 作业5 专题：匀变速直线运动的位移差公式 逐差法求加速度

利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上所打的一系列点，如图所示，各相邻的计数点的距离分别为x_Ⅰ、x_Ⅱ、x_Ⅲ…，各相邻的计数点的时间间隔为T，则下面各关系式中不正确的是(　　)

• A: x_Ⅱ-x_Ⅰ=aT²
• B: x_Ⅲ-x_Ⅰ=2aT²
• C: x_Ⅱ-x_Ⅰ=x_Ⅲ-x_Ⅱ
• D: x_Ⅲ-x_Ⅱ=$\frac{a{T}^2}{2}$

解析:

对于匀变速直线运动，连续相等时间内的位移之差是恒量，即Δx=aT²，对应于该题有x_Ⅱ-x_Ⅰ=x_Ⅲ-x_Ⅱ=aT²，而x_Ⅲ-x_Ⅰ=x_Ⅲ-x_Ⅱ+x_Ⅱ-x_Ⅰ=2aT²，A、B、C正确，D错误。

(2024·宁波市镇海中学高一期中)校运会时，高空无人机在完成拍摄任务后返回地面，某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中，前0.5 s内的位移为3.5 m，前1 s内的位移为8 m，则其加速度的大小为(　　)

• A: 3.5 m/s²
• B: 4 m/s²
• C: 7 m/s²
• D: 条件不足，无法求解

解析:

根据题意可知0.5~1 s内的位移为x₂=8 m-3.5 m=4.5 m，根据匀变速直线运动规律Δx=aT²可知加速度为a=$\frac{4.5-3.5}{0.5^2}$ m/s²=4 m/s²。故选B。

(2023·杭州市东方中学期中)一小球(可视为质点)沿固定斜面匀加速滑下，依次经过 A、B、C 三点，如图所示，已知AB=18 m，BC=30 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为 2 s，则小球在经过A、C两点时的速度大小分别是(　　)

• A: 6 m/s　12 m/s
• B: 6 m/s　18 m/s
• C: 3 m/s　5 m/s
• D: 3 m/s　7 m/s

解析:

小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，根据位移差公式有Δx=at² ，代入数据解得a=$\frac{\mathrm{\Delta }x}{t^2}$=$\frac{30-18}{2^2}$ m/s²=3 m/s²，小球经过B点的速度v_B=$\frac{18+30}{2\times 2}$ m/s=12 m/s，所以经过A点的速度大小v_A=v_B-at=6 m/s，经过C点的速度大小v_C=v_B+at=18 m/s。故选B。

(2024·阳江市高一期末)若某飞机在机场由静止开始做匀加速直线运动直到起飞，该过程经历的时间为3t，飞机通过的距离为x，则该飞机在最后一个时间t内通过的距离为(　　)

• A: $\frac{1}{9}$x
• B: $\frac{1}{3}$x
• C: $\frac{5}{9}$x
• D: $\frac{2}{3}$x

解析:

飞机在机场由静止开始做匀加速直线运动直到起飞，则连续相等时间t内的位移之比为1∶3∶5，则该飞机在最后一个时间t内通过的距离为s=$\frac{5}{1+3+5}$x=$\frac{5}{9}$x，故选C。

有一人站在火车第一节车厢前，火车从静止启动，做匀加速直线运动，测得第一节车厢经过他历时10 s， 那第二节车厢通过他所需要的时间是(　　)

• A: 10(3-2$\sqrt{2}$) s
• B: $\sqrt{10}$ s
• C: 10($\sqrt{2}$-1) s
• D: 10($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$) s

解析:

因为做初速度为零的匀加速直线运动，在通过连续相等位移所用的时间之比为1∶($\sqrt{2}$-1)∶($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$)∶…∶($\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$)，则第二节车厢和第一节车厢通过他所需的时间之比为($\sqrt{2}$-1)∶1，第一节车厢经过他历时10 s，则第二节车厢通过他的时间为10($\sqrt{2}$-1) s。故选C。

(2023·衢州市期末)某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验，装置如图甲所示：

(1)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为　　　　 V； 

(2)交流电源的频率为50赫兹，实验中得到的纸带如图乙所示，图中的点为计数点，在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为　　　　 s；打下B点时，小车的瞬时速度为　　　　 m/s；小车运动的加速度为　　　　 m/s²(后两空结果保留两位有效数字)。 

答案:

(1)220　(2)0.4　0.16　0.81

解析:

(1)题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源；

(2)每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为t=4×5×$\frac{1}{f}$=0.4 s

打下B点时，小车的瞬时速度为

v_B=$\frac{x_{AC}}{2T}$=$\frac{1.20+2.01}{2\times 5\times \frac{1}{50}}$×10^-2 m/s≈0.16 m/s

小车运动的加速度为

a=$\frac{x_{CE}-x_{AC}}{(2T{)}^2}$=$\frac{2.81+3.62-1.20-2.01}{(2\times 5\times \frac{1}{50}{)}^2}$×10^-2 m/s²≈0.81 m/s²

(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内和第2 s内的位移之差为6 m，则可知(　　)

• A: 第1 s内的位移是3 m
• B: 第2 s末的速度是6 m/s
• C: 物体运动过程中的加速度为2 m/s²
• D: 物体在前2 s内的平均速度是6 m/s

解析:

根据Δx=aT²，可得物体运动过程中的加速度为a=$\frac{\mathrm{\Delta }x}{T^2}$=$\frac{6}{1^2}$ m/s²=6 m/s²，故C错误；第1 s内的位移为x₁=$\frac{1}{2}$a${t_1}^2$=3 m，故A正确；物体第2 s末的速度为v₂=at₂=12 m/s，物体在前2 s内的平均速度为v=$\frac{v_2}{2}$=6 m/s，故B错误，D正确。

(2024·浙江慈溪中学高一检测改编)“蛟龙号”在第五次深海探测活动中，完成海底科考任务后沿竖直方向上浮，设从H深度处匀减速上浮，经过一段时间后“蛟龙号”上浮到海面，此时速度恰好减为零。已知上升第一个$\frac{H}{4}$所用的时间为t₁，第四个$\frac{H}{4}$所用的时间为t₂，则$\frac{t_2}{t_1}$满足(　　)

• A: 1∶(2-$\sqrt{3}$)
• B: 1∶($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$)
• C: (2-$\sqrt{3}$)∶1
• D: 2∶1

解析:

初速度为零的匀加速直线运动，相同位移的时间比为1∶($\sqrt{2}$-1)∶($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$)∶(2-$\sqrt{3}$)，利用逆向思维，把末速度为零的匀减速直线运动看成初速度为零的匀加速直线运动，可知$\frac{t_2}{t_1}$=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$。故选A。

(2024·福州市高一期中)一辆汽车在正常行驶时，司机发现前方有一障碍物，司机在经过0.5 s的反应时间后采取紧急刹车。汽车紧急刹车后经7 s停止，设汽车在刹车过程中做匀减速直线运动，它在最后1 s内的位移是2 m。

(1)开始刹车时的速度是多大？

(2)汽车从发现障碍物开始整个过程中通过的位移大小。

答案:

(1)28 m/s　(2)112 m

解析:

(1)将汽车刹车的过程看作是逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则汽车刹车的加速度为a=$\frac{2x}{t^2}$=$\frac{2\times 2}{1^2}$ m/s²=4 m/s²

开始刹车时的速度是v=at'=4×7 m/s=28 m/s

(2)汽车从发现障碍物开始整个过程中通过的位移大小为

s=vΔt+$\frac{v}{2}$t'=28×0.5 m+$\frac{28}{2}$×7 m=112 m。