第二章 作业9 章末复习课

已知集合A={x|x²≤3}，B={-2，-1，1，2}，则B∩(∁_RA)等于(　　)

• A: {-2}
• B: {-1}
• C: {-1，1}
• D: {-2，2}

解析:

∵A={x|-$\sqrt{3}$≤x≤$\sqrt{3}$}，B={-2，-1，1，2}，

∴∁_RA={x|x<-$\sqrt{3}$或x>$\sqrt{3}$}，B∩(∁_RA)={-2，2}.

已知a，b，c∈R，则下列命题成立的是(　　)

• A: 若a>b，c>b，则a>c
• B: 若-a>b，则c-a>c+b
• C: 若a>b，c≠0，则$\frac{a}{c}$>$\frac{b}{c}$
• D: 若a⁴>b⁴，则-a<-b

解析:

A项，若a=4，b=2，c=5，显然不成立；

B项，由-a>b，则c-a>c+b，成立；

C项，当c<0时，不成立；

D项，当a=-1，b=0时，不成立.

已知不等式(x+y)$\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)$≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

• A: 2
• B: 4
• C: 9
• D: 16

解析:

(x+y)$\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)$=1+a+$\frac{ax}{y}$+$\frac{y}{x}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{ax}{y}·\frac{y}{x}}$=(1+$\sqrt{a}$)²，

当且仅当$\frac{ax}{y}$=$\frac{y}{x}$，即y=$\sqrt{a}$x时取等号.

所以(1+$\sqrt{a}$)²≥9，所以a≥4.

若P=$\sqrt{a+6}$+$\sqrt{a+7}$，Q=$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{a+8}$(a>-5)，则P，Q的大小关系为(　　)

• A: P<Q
• B: P=Q
• C: P>Q
• D: 不能确定

解析:

P²-Q²=($\sqrt{a+6}$+$\sqrt{a+7}$)²-($\sqrt{a+5}$+$\sqrt{a+8}$)²=a+6+2$\sqrt{(a+6)(a+7)}$+a+7-(a+5+2$\sqrt{(a+5)(a+8)}$+a+8)=2［$\sqrt{(a+6)(a+7)}$-$\sqrt{(a+5)(a+8)}$］，

因为(a+6)(a+7)-(a+5)(a+8)=a²+13a+42-(a²+13a+40)=2>0，a>-5，

所以(a+6)(a+7)>(a+5)(a+8)>0，

所以$\sqrt{(a+6)(a+7)}$>$\sqrt{(a+5)(a+8)}$，

所以P²-Q²>0，P²>Q²，所以P>Q.

若∀x∈R，ax²-3x+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

• A: a≤$\frac{3}{2}$
• B: -$\frac{3}{2}$<a≤$\frac{3}{2}$
• C: a≥$\frac{3}{2}$
• D: a<0或a≥$\frac{3}{2}$

解析:

当a=0时，不等式化为-3x≥0，不恒成立，不合题意；

当a<0时，由二次函数图象和性质知不合题意；

当a>0时，要使∀x∈R，ax²-3x+a≥0恒成立，则

$\left\{\begin{array}{l}a>0,\\ \Delta =9-4a^2\le 0,\end{array}\right.$解得a≥$\frac{3}{2}$，

综上，实数a的取值范围是a≥$\frac{3}{2}$.

(多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下列不等式一定成立的是(　　)

• A: a-c>b-d
• B: ac>bd
• C: $\frac{d}{a}$<$\frac{c}{a}$
• D: a+d>b+c

解析:

取a=c=-2，b=d=-1，则a-c=b-d=0，a+d=b+c=-3，故A，D错误；

因为a<b<0，c<d<0，所以-a>-b>0，-c>-d>0，所以ac>bd，故B正确；

因为c<d<0，$\frac{1}{a}$<0，所以$\frac{d}{a}$<$\frac{c}{a}$，故C正确.

(多选)设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是(　　)

• A: $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\sqrt{2}$
• B: $\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2
• C: $\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$
• D: $\frac{b}{a+1}$+$\frac{a}{b+1}$的值可能为1

解析:

因为a>0，b>0，且a+2b=4，

所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$(a+2b)=$\frac{1}{4}\left(3+\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}\right)$≥$\frac{1}{4}\left(3+2\sqrt{\frac{2b}{a}·\frac{a}{b}}\right)$=$\frac{1}{4}$(3+2$\sqrt{2}$)，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}a+2b=4,\\ \frac{2b}{a}=\frac{a}{b},\end{array}\right.$即a=4$\sqrt{2}$-4，b=4-2$\sqrt{2}$时，取等号，故A错误；

$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)$(a+2b)=$\frac{1}{4}\left(4+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}\right)$≥$\frac{1}{4}\left(4+2\sqrt{\frac{4b}{a}·\frac{a}{b}}\right)$=2，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}a+2b=4,\\ \frac{4b}{a}=\frac{a}{b},\end{array}\right.$即a=2，b=1时，取等号，故B正确；

$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)$(a+2b)=$\frac{1}{4}\left(5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\right)$≥$\frac{1}{4}\left(5+2\sqrt{\frac{2b}{a}·\frac{2a}{b}}\right)$=$\frac{9}{4}$，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}a+2b=4,\\ \frac{2b}{a}=\frac{2a}{b},\end{array}\right.$即a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{4}{3}$时，取等号，故C正确；

$\frac{b}{a+1}$+$\frac{a}{b+1}$=$\frac{b+1-1}{a+1}$+$\frac{a+1-1}{b+1}$=$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{a+1}{b+1}$-$\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)$

=$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{a+1}{b+1}$-$\frac{1}{7}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)$［a+1+2(b+1)］=$\frac{5}{7}$×$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{6}{7}$×$\frac{a+1}{b+1}$-$\frac{3}{7}$≥2$\sqrt{\frac{5}{7}\times \frac{b+1}{a+1}\times \frac{6}{7}\times \frac{a+1}{b+1}}$-$\frac{3}{7}$=$\frac{2\sqrt{30}}{7}$-$\frac{3}{7}$，

当且仅当$\left\{\begin{array}{l}a+2b=4,\\ \frac{5}{7}\times \frac{b+1}{a+1}=\frac{6}{7}\times \frac{a+1}{b+1}\end{array}\right.$时取等号，

又$\frac{2\sqrt{30}}{7}$-$\frac{3}{7}$>1，故D错误.

(多选)已知关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集为M，则下列说法错误的是(　　)

• A: 若M=∅，则a<0，Δ<0
• B: 若M={x|-1<x<3}，则关于x的不等式-cx²-bx-b>cx+4a的解集为$\left\{x\left|x<-2\mathrm{或}x>\frac{1}{3}\right.\right\}$
• C: 若M={x|x≠x₀，x₀为常数}，且a<b，则$\frac{a+4c}{b-a}$的最小值为2+2$\sqrt{2}$
• D: 若a<0，则ax²+bx+c<0的解集M一定不为∅

解析:

由题意，关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集为M，

若M=∅，即不等式ax²+bx+c<0的解集为空集，

根据二次函数的性质，则满足a>0，Δ=b²-4ac≤0，故A错误；

若M={x|-1<x<3}，则-1和3是方程ax²+bx+c=0的两个实根，且a>0，

可得$\left\{\begin{array}{l}-1+3=-\frac{b}{a},\\ -1\times 3=\frac{c}{a},\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2a,\\ c=-3a,\end{array}\right.$

则不等式-cx²-bx-b>cx+4a，可化为3ax²+5ax-2a>0，

即a(x+2)(3x-1)>0，解得x<-2或x>$\frac{1}{3}$，

即所求不等式的解集为$\left\{x\left|x<-2\mathrm{或}x>\frac{1}{3}\right.\right\}$，故B正确；

若M={x|x≠x₀，x₀为常数}，则x₀是ax²+bx+c=0唯一的实根，且a<0，

则满足$\left\{\begin{array}{l}a<0,\\ \Delta =b^2-4ac=0,\end{array}\right.$解得c=$\frac{b^2}{4a}$，所以$\frac{a+4c}{b-a}$=$\frac{a+4\times \frac{b^2}{4a}}{b-a}$=$\frac{a+\frac{b^2}{a}}{b-a}$=$\frac{1+\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b}{a}-1}$，

令$\frac{b}{a}$-1=t，因为a<b且a<0，可得t<0，且$\frac{b}{a}$=t+1，

则$\frac{a+4c}{b-a}$=$\frac{1+\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b}{a}-1}$=$\frac{1+(t+1{)}^2}{t}$=t+$\frac{2}{t}$+2=2-$\left(-t-\frac{2}{t}\right)$≤2-2$\sqrt{(-t)·\frac{2}{-t}}$=2-2$\sqrt{2}$，

当且仅当t=$\frac{2}{t}$，即t=-$\sqrt{2}$，即$\frac{b}{a}$=-$\sqrt{2}$+1时，等号成立，

所以$\frac{a+4c}{b-a}$的最大值为2-2$\sqrt{2}$，故C错误；

当a<0时，函数y=ax²+bx+c表示开口向下的抛物线，

所以当a<0时，ax²+bx+c<0的解集M一定不为∅，故D正确.

不等式$\frac{x-2}{x+1}$≤0的解集是　　　　　　. 

答案:

{x|-1<x≤2}

解析:

原不等式等价于(x-2)(x+1)≤0且x≠-1，解得-1<x≤2.

若-1<a<0<b<2，则2a-2b-1的取值范围是　　　　　. 

答案:

-7<2a-2b-1<-1

解析:

因为-1<a<0<b<2，

所以$\left\{\begin{array}{l}-1<a<0,\\ 0<b<2,\end{array}\right.$

则-2<2a<0，0<2b<4，-4<-2b<0，

所以-6<2a-2b<0，所以-7<2a-2b-1<-1.

某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为$\left(30-\frac{5}{2}R\right)$万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是　　　　. 

答案:

4≤R≤8

解析:

根据题意，要使附加税不少于128万元，需$\left(30-\frac{5}{2}R\right)$×160×R%≥128，

整理得R²-12R+32≤0，解得4≤R≤8.

若x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1恒成立，则a的取值范围是　　　　. 

答案:

{a|a≥2}

解析:

原不等式可化为(a+2)x²+4x+a-1≥0，

由题意可得a+2>0，Δ=16-4(a+2)(a-1)≤0，解得a≥2.

已知a，b均为正实数，试比较$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的大小.

答案:

解　方法一　(作差法)　$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$-($\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$)=$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$-$\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$=$\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$=$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{\sqrt{ab}}$.

∵a，b均为正实数，

∴$\sqrt{ab}$>0，$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$>0，($\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$)²≥0，

∴$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{\sqrt{ab}}$≥0.

∴$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$.

方法二　(作商法)　∵a，b均为正实数，

∴$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$>0，$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$>0.

∴$\frac{\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$=$\frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

=$\frac{(a-b)(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}(a-b)}$=$\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$

=$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2+\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$=$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{\sqrt{ab}}$+1.

∵($\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$)²≥0，$\sqrt{ab}$>0，

∴$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{\sqrt{ab}}$+1≥1，

∴$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$.

(1)求不等式$\frac{2}{x+1}$≤1的解集；

(2)求关于x的不等式(ax-1)(x-2)>0的解集，其中a∈R.

答案:

解　(1)因为$\frac{2}{x+1}$≤1可化为$\frac{x-1}{x+1}$≥0，即$\left\{\begin{array}{l}(x-1)(x+1)\ge 0,\\ x+1\ne 0,\end{array}\right.$解得x≥1或x<-1，所以不等式$\frac{2}{x+1}$≤1的解集为{x|x≥1或x<-1}.

(2)当a=0时，不等式的解集为{x|x<2}；

当a<0时，不等式可化为$\left(x-\frac{1}{a}\right)$(x-2)<0，不等式的解集为$\left\{x\left|\frac{1}{a}<x<2\right.\right\}$；

当a>0时，不等式可化为$\left(x-\frac{1}{a}\right)$(x-2)>0，

当$\frac{1}{a}$=2，即a=$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为{x|x≠2}，

当$\frac{1}{a}$>2，即0<a<$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为$\left\{x\left|x>\frac{1}{a}\mathrm{或}x<2\right.\right\}$，

当$\frac{1}{a}$<2，即a>$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为$\left\{x\left|x<\frac{1}{a}\mathrm{或}x>2\right.\right\}$.

如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的等腰梯形菜园ABCD，已知BC∥AD，BC=x，AB=CD=y(单位：m)，∠BAD=∠CDA=60°.

(1)若篱笆的长度为12 m，菜园的面积为12$\sqrt{3}$ m²，求x，y的值；

(2)若要求菜园的面积为$\frac{27\sqrt{3}}{4}$ m²，求篱笆的长度的最小值.

答案:

解　(1)如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠BAE=60°，AB=y，所以AE=$\frac{1}{2}$y，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y.

同理DF=$\frac{1}{2}$y，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，则EF=x.

所以$\left\{\begin{array}{l}x+2y=12,\\ \frac{1}{2}\left(x+x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y\right)·\frac{\sqrt{3}}{2}y=12\sqrt{3},\end{array}\right.$

即$\left\{\begin{array}{l}x+2y=12,\\ (2x+y)y=48,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=4,\\ y=4.\end{array}\right.$

(2)S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}\left(x+x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y\right)$·$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$，

即(2x+y)y=27，(2x+y)·3y=81.

所以x+2y=$\frac{1}{2}$(2x+4y)=$\frac{1}{2}$［(2x+y)+3y］≥$\sqrt{(2x+y)·3y}$=9(当且仅当2x+y=3y，即x=y=3时取“=”)，此时篱笆的长度的最小值为9 m.

已知不等式ax²-3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}.

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax²-(ac+2)x+2c<0.

答案:

解　(1)因为不等式ax²-3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，

所以a>0，且方程ax²-3x+b=4，即方程ax²-3x+b-4=0的解为x=1或x=2，

所以$\frac{3}{a}$=3，$\frac{b-4}{a}$=2，

所以a=1，b=6.

(2)由(1)得不等式ax²-(ac+2)x+2c<0，即x²-(c+2)x+2c<0，

即(x-c)(x-2)<0，

当c=2时，不等式的解集为∅；

当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；

当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}.

规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab-a-b(a，b为正实数)，若正数x，y满足x⊗y=3，则xy的最小值是　　　　. 

答案:

9

解析:

由a⊗b=ab-a-b，得x⊗y=xy-x-y=3，即xy=3+x+y，

因为x>0，y>0，x+y≥2$\sqrt{xy}$，当且仅当x=y时取等号，

所以xy=3+x+y≥3+2$\sqrt{xy}$，即xy-2$\sqrt{xy}$-3≥0，

所以($\sqrt{xy}$-3)($\sqrt{xy}$+1)≥0，所以$\sqrt{xy}$≥3，即xy≥9，当且仅当x=y=3时取等号，所以xy的最小值是9.

如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积为200 m²的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m²；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m²；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m².设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.

答案:

解　由题意得AM=$\frac{200-x^2}{4x}$，

又AM>0，∴0<x<10$\sqrt{2}$.

S=4 200x²+210(200-x²)+80×4×$\frac{1}{2}{\left(\frac{200-x^2}{4x}\right)}^2$

=4 200x²+42 000-210x²+$\frac{400\mathrm{ }000+10x^4-4\mathrm{ }000x^2}{x^2}$

=4 000x²+$\frac{400\mathrm{ }000}{x^2}$+38 000

≥2$\sqrt{4\mathrm{ }000x^2·\frac{400\mathrm{ }000}{x^2}}$+38 000

=80 000+38 000=118 000(0<x<10$\sqrt{2}$)，

当且仅当4 000x²=$\frac{400\mathrm{ }000}{x^2}$，即x=$\sqrt{10}$时，等号成立，

∴当x=$\sqrt{10}$时，S最小且S_min=118 000.