第二章 章末检测试卷(二)

下列命题中正确的是(　　)

• A: 若ab>0，a>b，则$\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$
• B: 若a>b，则a|c|>b|c|
• C: 若a>b，c>d，则a-c>b-d
• D: 若a>b，c<d，则a+c=b+d

解析:

∵ab>0，a>b，∴a·$\frac{1}{ab}$>b·$\frac{1}{ab}$，∴$\frac{1}{b}$>$\frac{1}{a}$，故A正确；取c=0，可排除B；取a=3，b=1，c=0，d=-4，此时a-c<b-d，故C错误；取a=3，b=1，c=-4，d=0，此时a+c<b+d，故D错误.

已知集合A={x|2<x<4}，B={x|(x-1)(x-3)<0}，则A∩B等于(　　)

• A: {x|1<x<3}
• B: {x|1<x<4}
• C: {x|2<x<3}
• D: {x|2<x<4}

解析:

∵A={x|2<x<4}，B={x|(x-1)(x-3)<0}={x|1<x<3}，

∴A∩B={x|2<x<3}.

若正数m，n满足2m+n=1，则$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$的最小值为(　　)

• A: 1+$\sqrt{2}$
• B: $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• C: 2+$\sqrt{2}$
• D: $\frac{3}{2}$

解析:

∵正数m，n满足2m+n=1，

∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=(2m+n)$\left(\frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}\right)$=$\frac{3}{2}$+$\frac{n}{2m}$+$\frac{m}{n}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{n}{2m}·\frac{m}{n}}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，

当且仅当n=$\sqrt{2}$m=$\sqrt{2}$-1时取等号.

∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$.

已知p∈R，M=(2p+1)(p-3)，N=(p-6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为(　　)

• A: M<N
• B: M>N
• C: M≤N
• D: M≥N

解析:

M-N=(2p+1)(p-3)-［(p-6)(p+3)+10］=p²-2p+5=(p-1)²+4>0，所以M>N.

不等式|x|(1-2x)>0的解集为(　　)

• A: $\left\{x\left|x<0\mathrm{或}0<x<\frac{1}{2}\right.\right\}$
• B: $\left\{x\left|x<\frac{1}{2}\right.\right\}$
• C: $\left\{x\left|x>\frac{1}{2}\right.\right\}$
• D: $\left\{x\left|0<x<\frac{1}{2}\right.\right\}$

解析:

因为|x|≥0，

故|x|(1-2x)>0等价于$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0,\\ 1-2x>0,\end{array}\right.$

即x<0或0<x<$\frac{1}{2}$.

若不等式(a-2)x²+2(a-2)x-4<0对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

• A: {a|a≤2}
• B: {a|-2<a<2}
• C: {a|-2<a≤2}
• D: {a|a<-2}

解析:

当a-2=0，即a=2时，不等式为-4<0，对∀x∈R恒成立.

当a≠2时，则$\left\{\begin{array}{l}a-2<0,\\ 4{(a-2)}^2+16(a-2)<0,\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a-2<0,\\ a^2<4,\end{array}\right.$

解得-2<a<2.

综上，实数a的取值范围是{a|-2<a≤2}.

已知关于x的不等式ax²-x+c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=ax²+x+c的图象为(　　)

• A:
• B:
• C:
• D:

解析:

由题意可知，a<0且$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=-2+1=-1,\\ \frac{c}{a}=-2\times 1,\end{array}\right.$

∴$\left\{\begin{array}{l}a=-1,\\ c=2,\end{array}\right.$

∴函数y=ax²+x+c=-x²+x+2的图象为B项.

已知实数x满足0<x<$\frac{1}{2}$，则y=8x+$\frac{1}{2x-1}$的最大值为(　　)

• A: -4
• B: 0
• C: 4
• D: 8

解析:

由0<x<$\frac{1}{2}$得到-1<2x-1<0，

则0<1-2x<1，

y=8x+$\frac{1}{2x-1}$=4(2x-1)+$\frac{1}{2x-1}$+4

=-$\left[4(1-2x)+\frac{1}{1-2x}\right]$+4

≤-2$\sqrt{4(1-2x)·\frac{1}{1-2x}}$+4=0，

当且仅当x=$\frac{1}{4}$时上式取等号，

则y=8x+$\frac{1}{2x-1}$的最大值为0.

(多选)若实数a，b满足1<a<3，2<b<7，则下列结论中正确的有(　　)

• A: 3<a+b<10
• B: 1<b-a<4
• C: 2<ab<21
• D: 2<$\frac{b}{a}$<$\frac{7}{3}$

解析:

因为1<a<3，2<b<7，所以3<a+b<10，2<ab<21，故A，C正确；

因为1<a<3，所以-3<-a<-1，又2<b<7，所以-1<b-a<6，故B错误；

因为1<a<3，所以$\frac{1}{3}$<$\frac{1}{a}$<1，又2<b<7，所以$\frac{2}{3}$<$\frac{b}{a}$<7，故D错误.

(多选)已知正实数x，y满足x+$\frac{2}{y}$=4，下列说法正确的是(　　)

• A: $\frac{x}{y}$的最大值是2
• B: x-y的最大值是1
• C: xy的最小值是2
• D: $\frac{2}{x}$+y的最小值是2

解析:

∵x>0，y>0，x+$\frac{2}{y}$=4，

∴4-$\frac{2}{y}$>0，解得y>$\frac{1}{2}$，∴0<x<4.

x+$\frac{2}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，即4≥2$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，

解得0<$\frac{x}{y}$≤2(当且仅当x=2，y=1时取最大值2)，故A正确；

x-y=4-$\frac{2}{y}$-y=4-$\left(\frac{2}{y}+y\right)$≤4-2$\sqrt{2}$(当且仅当y=$\sqrt{2}$，x=4-$\sqrt{2}$时取最大值4-2$\sqrt{2}$)，故B错误；

当x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{3}{4}$时，满足x+$\frac{2}{y}$=4，此时xy=1，故C错误；

$\frac{2}{x}$+y=$\left(\frac{2}{x}+y\right)\left(x+\frac{2}{y}\right)$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}\left(2+2+xy+\frac{4}{xy}\right)$≥2(当且仅当x=2，y=1时取最小值2)，故D正确.

(多选)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是(　　)

• A: $\left\{x\left|-1<x<\frac{1}{a}\right.\right\}$
• B: $\left\{x|x\ne -1\right\}$
• C: $\left\{x\left|\frac{1}{a}<x<-1\right.\right\}$
• D: R

解析:

当a>0时，解得-1<x<$\frac{1}{a}$；

当a=0时，解得x>-1；

当-1<a<0时，解得x<$\frac{1}{a}$或x>-1；

当a=-1时，解得x≠-1；

当a<-1时，解得x<-1或x>$\frac{1}{a}$.

关于x的不等式$\frac{mx-1}{x-2}$>0，若此不等式的解集为$\left\{x\left|\frac{1}{m}\right.<x<2\right\}$，则m的取值范围是　　　　. 

答案:

m<0

解析:

由$\frac{mx-1}{x-2}$>0，得(mx-1)(x-2)>0，

因为不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为$\left\{x\left|\frac{1}{m}\right.<x<2\right\}$，

所以$\left\{\begin{array}{l}m<0,\\ \frac{1}{m}<2,\end{array}\right.$即m<0，

所以m的取值范围是m<0.

已知x>0，y>0，2x+3y=6，则xy的最大值为　　　　. 

答案:

$\frac{3}{2}$

解析:

因为x>0，y>0，2x+3y=6，

所以xy=$\frac{1}{6}$(2x·3y)≤$\frac{1}{6}$·${\left(\frac{2x+3y}{2}\right)}^2$=$\frac{1}{6}$×${\left(\frac{6}{2}\right)}^2$=$\frac{3}{2}$.

当且仅当2x=3y，即x=$\frac{3}{2}$，y=1时，xy取得最大值$\frac{3}{2}$.

某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　　　　　.(假设每件衬衫的售价是m) 

答案:

{m|45≤m≤65}

解析:

设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40+x)元，

则每天出售衬衫的净收入为(40+x-30)(40-x)=(-x²+30x+400)元，

由题可知，-x²+30x+400≥525，

整理得(x-25)(x-5)≤0，

解得5≤x≤25，

则45≤m≤65.

若实数x>0，y>0，且满足x+y=8-xy.

(1)求xy的最大值；

(2)求x+y的最小值.

答案:

解　(1)∵x>0，y>0，∴8-xy=x+y≥2$\sqrt{xy}$，

即($\sqrt{xy}$+4)($\sqrt{xy}$-2)≤0，解得0<xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，

∴xy的最大值为4.

(2)8-(x+y)=xy≤${\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2$，

∴［(x+y)+8］［(x+y)-4］≥0，

∴x+y≥4，当且仅当x=y=2时，等号成立.

即x+y的最小值为4.

设命题p：方程x²+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x²-4x+13≥m²恒成立.

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.

答案:

解　(1)若命题p为真命题，即方程x²+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根，

则有Δ=(2m-4)²-4m=4m²-20m+16>0，

解得m<1或m>4.

∴实数m的取值范围为{m|m<1或m>4}.

(2)若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x²-4x+13≥m²恒成立.

设y=x²-4x+13，只需2≤x≤3时，m²≤y_min即可.

∵y=x²-4x+13=(x-2)²+9，2≤x≤3.

∴y_min=9，∴m²≤9，解得-3≤m≤3.

∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m|-3≤m≤3}.

∵命题p，q一真一假，

∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有

$\left\{\begin{array}{l}m<1\mathrm{或}\mathrm{m}>4,\\ m<-3\mathrm{或}\mathrm{m}>3,\end{array}\right.$解得m<-3或m>4；

若命题p为假命题，命题q为真命题，则有

$\left\{\begin{array}{l}1\le m\le 4,\\ -3\le m\le 3,\end{array}\right.$解得1≤m≤3.

综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}.

(1)若关于x的不等式ax²-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围；

(2)若关于x的不等式-2≤ax²-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值(或取值范围).

答案:

解　(1)①当a=0时，由-2x+3≤0，解得x≥$\frac{3}{2}$，满足题意；

②当a<0时，令y=ax²-2x+3，则此二次函数的图象开口向下，满足题意；

③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得a≤$\frac{1}{3}$，

综上所述，实数a的取值范围为$\left\{a|a\le \frac{1}{3}\right\}$.

(2)当a=0时，-2≤-2x+3≤2，

即$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$，不满足条件，舍去；

当a≠0时，令y=ax²-2x+3，

若a>0，则函数y=ax²-2x+3的图象开口向上，

∴函数的最小值为2，∴$\frac{12a-4}{4a}$=2，∴a=1；

若a<0，则函数y=ax²-2x+3的图象开口向下，

∴函数的最大值为-2，

∴$\frac{12a-4}{4a}$=-2，∴a=$\frac{1}{5}$(舍去)，

综上所述，实数a的值为1.

已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.若abc=1，证明：$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$<$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$.

答案:

证明　∵a，b，c是不全相等的正数，且abc=1，

∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{a}{abc}}$+$\sqrt{\frac{b}{abc}}$+$\sqrt{\frac{c}{abc}}$=$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+$\sqrt{\frac{1}{ac}}$+$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，

∵2$\sqrt{\frac{1}{bc}}$≤$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，当且仅当b=c时取等号，

2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，当且仅当a=b时取等号，

2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，当且仅当a=c时取等号，

∴以上三个不等式中至少有一个等号不成立，

∴2$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$<2$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$，

即$\sqrt{\frac{1}{ab}}$+$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+$\sqrt{\frac{1}{ac}}$<$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，

∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$<$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$.

国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元.

(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；

(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大.

(注：价值损失的百分率=$\frac{\mathrm{原}\mathrm{有}\mathrm{价}\mathrm{值}-\mathrm{现}\mathrm{有}\mathrm{价}\mathrm{值}}{\mathrm{原}\mathrm{有}\mathrm{价}\mathrm{值}}$×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)

答案:

(1)解　由题意可设价值与重量的关系式为y=kx²(x≥0)，

∵3克拉的钻石的价值是54 000美元，

∴54 000=k·3²，解得k=6 000，

∴y=6 000x²，

∴此钻石的价值与重量的关系式为

y=6 000x²(x≥0).

(2)证明　若两颗钻石的重量分别为m，n克拉，

则原有价值是6 000(m+n)²，

现有价值是6 000m²+6 000n²，

价值损失的百分率为$\frac{6\mathrm{ }000(m+n{)}^2-6\mathrm{ }000m^2-6\mathrm{ }000n^2}{6\mathrm{ }000(m+n{)}^2}$×100%=$\frac{2mn}{(m+n{)}^2}$×100%≤$\frac{2\times {\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2}{(m+n{)}^2}$=$\frac{1}{2}$，

当且仅当m=n时，等号成立.

∴当m=n时，价值损失的百分率最大.